Priemgetallen. Je leert ze op school als het toonbeeld van willekeur: getallen die alleen deelbaar zijn door zichzelf en door 1, zonder enig patroon in wanneer ze opduiken. 2, 3, 5, 7, 11, 13… en dan moet je gewoon verder tellen tot je er weer een tegenkomt. Geen formule, geen ritme. Dat is nogal het punt van priemgetallen.

Dus toen ik las dat twee wiskundigen aan Stanford een patroon hadden gevonden in hoe priemgetallen op elkaar volgen, moest ik dat twee keer lezen. Niet een patroon in de priemgetallen zelf, maar in hun laatste cijfer. En dat laatste cijfer bleek allergisch aan zichzelf.

Priemgetallen willen geen buurman met hetzelfde laatste cijfer

Even simpel gezegd: als je een priemgetal hebt dat eindigt op 1, zou je verwachten dat het volgende priemgetal met gelijke kans eindigt op 1, 3, 7 of 9. Dat zijn namelijk de enige cijfers waarop een priemgetal (groter dan 5) kan eindigen. Vier opties, dus je verwacht ongeveer 25 procent kans op elk.

Bleek niet zo te zijn. Een priemgetal dat eindigt op 1 wordt merkbaar minder vaak gevolgd door een priemgetal dat ook op 1 eindigt. Priemgetallen lijken liever een ander laatste cijfer te zien bij hun opvolger dan hetzelfde. Alsof ze een beetje op elkaar uitgekeken raken.

Dat voelde als een foutje. Alsof iemand een steekproef verkeerd had opgezet, of een programmeerfout had gemaakt in de berekening. Want priemgetallen zijn het domein waar willekeur regeert, dat leer je als kind al. Een voorkeur, een afkeer, een patroon: dat hoort er niet te zijn.

Het bleek geen foutje

Het patroon hield stand bij grotere getallen, bij andere berekeningen, bij herhaling. Het werd zwakker naarmate de getallen groter werden, maar het verdween niet. En dat is denk ik het interessantste stuk van het hele verhaal: het was geen fout in de wiskunde, het was een gat in wat mensen hadden bekeken.

Niemand had ooit goed gekeken naar de volgorde van priemgetallen op deze manier. Iedereen had het over waar priemgetallen opduiken, hoe zeldzaam ze worden, of er oneindig veel zijn. Maar wie er na wie komt, en of dat cijfermatig eerlijk verdeeld is: dat had blijkbaar niemand uitgeplozen. Een blinde vlek die daar al die tijd al lag, in iets wat we al eeuwen bestuderen.

Dat vind ik zelf het meest hangen blijven. Niet het patroon op zich, maar het idee dat iets zo basaal, zo grondig doorgeplozen als priemgetallen, nog steeds een kant heeft die niemand had omgedraaid.

Er wordt in de bronnen gelinkt naar een verklaring die te maken heeft met hoe priemgetallen zich gedragen in modulaire rekenkunde, iets met resten bij deling. Ik snap het genoeg om te weten dat het klopt, niet genoeg om het hier goed uit te leggen zonder wiskundeles te worden.

Het patroon verdwijnt trouwens niet helemaal met grotere getallen, het wordt alleen zwakker. Dat is op zich ook een beetje ontnuchterend: geen wet die overal geldt, maar een tendens die uitdooft. Priemgetallen die op hun oude dag hun voorkeuren een beetje laten varen.