Ik kwam de “einstein tile” tegen, en nee, dat heeft niks met Albert te maken. Ein Stein, uit het Duits: een steen. Een tegel dus. En het is precies wat het woord zegt: een enkele tegelvorm waarmee je een heel vlak kan bedekken zonder dat het patroon zich ooit herhaalt.
Dat klinkt als iets wat allang moest bestaan. Tegels leggen we al duizenden jaren, wiskunde doen we ook al even lang, en toch bleef deze specifieke vraag open staan tot 2023. Wiskundigen zochten er sinds de jaren zeventig naar, sinds Roger Penrose liet zien dat het met twee vormen samen wel kon. Een niet-herhalend patroon met twee tegels, dat was al bekend. Maar met een enkele vorm, dat bleef onvindbaar.
Waarom een enkele tegel zo lastig was
Het probleem zit in de eis “nooit herhalend”. De meeste tegels die een vlak volledig bedekken, zoals vierkanten, zeshoeken of eender welke ruit, doen dat juist wel door herhaling. Je legt een patroon, schuift het op, en het past weer. Dat noemen wiskundigen periodiek.
Een vorm vinden die het vlak wel volledig vult, maar waarbij je nergens een stukje kan aanwijzen dat zich exact herhaalt als je het verschuift, is een heel ander soort probleem. Er waren wiskundige argumenten die zelfs deden vermoeden dat het onmogelijk was met een enkele tegel. Tot een amateur-wiskundige er toch een vond.
Best simpel, uiteindelijk
Het is dat laatste wat blijft hangen. Na decennia van zoeken door professionele wiskundigen bleek de oplossing geen exotische, complexe vorm met rare hoeken te zijn. Het is een vorm met dertien zijden, opgebouwd uit zeshoeken die tegen elkaar aan geplakt zitten, en die intussen “the hat” wordt genoemd. Een hoedje. Je zou het zo kunnen natekenen.
Wat de vorm speciaal maakt, is niet hoe ingewikkeld hij is maar hoe hij zich gedraagt zodra je er heel veel van naast elkaar legt. Elke keer als je de tegel spiegelt of draait en opnieuw plaatst, ontstaat er een net iets andere lokale schikking. Zoom uit en er is geen twee keer dezelfde omgeving in het hele vlak te vinden, hoe ver je ook kijkt.
Er bestaat intussen ook al een variant die zonder spiegelbeeld werkt, alleen met draaiingen. Wiskundigen noemden die “the spectre”. Blijkbaar is een niet-herhalend patroon vinden leuk genoeg om er meteen op door te zoeken naar strengere versies.
Zoek even op “einstein tile hat” in een zoekmachine met afbeeldingen aan. Het patroon dat ontstaat als je er genoeg van naast elkaar legt, is makkelijker te zien dan uit te leggen.
Volgens New Scientist zat de ontdekking in een vakgebied waarvan je zou denken dat het allang was uitgeput. Tegels leggen is niet bepaald nieuw terrein. En toch lag hier nog iets dat niemand had gezien, verstopt in een vorm die je zo tegen een keukenmuur zou kunnen plakken.
