Na het apen-verhaal bleef ik hangen bij een idee dat er verdacht dicht bij ligt, maar uit de natuurkunde komt in plaats van uit de kansrekening. Het heet de recurrentie van Poincare, en het is minstens even duizelingwekkend.

De stelling, bedacht door de Franse wiskundige Henri Poincare eind negentiende eeuw, zegt iets wat je brein niet wil geloven: een gesloten systeem dat lang genoeg zijn gang gaat, keert vanzelf terug naar een toestand die bijna exact gelijk is aan waar het ooit begon. Niet ongeveer. Willekeurig dichtbij.

Het klassieke voorbeeld is een doos met gasmoleculen. Verdeel ze eerst allemaal in de linkerhelft, haal het scheidingswandje weg, en ze verspreiden zich zoals je verwacht – overal, chaotisch, netjes gemengd. De tweede hoofdwet van de thermodynamica in actie. Wanorde neemt toe. En toch: laat de doos lang genoeg met rust, en op een dag staan al die moleculen weer spontaan in de linkerhelft. Vanzelf. Zonder dat iemand iets doet.

Waarom je dit nooit ziet gebeuren

Hier komt de echo van de apen. Ja, het gebeurt met zekerheid. Nee, je zal het nooit meemaken.

De tijd die zo’n terugkeer vraagt – de Poincare-recurrentietijd – is voor eender welk realistisch systeem zo absurd lang dat ze de leeftijd van het universum doet lijken op een oogwenk. We praten over getallen met exponenten die zelf al niet meer op te schrijven zijn. Je koffie wordt in theorie ooit weer vanzelf warm. In de praktijk gebeurt dat gewoon niet binnen een tijdspanne die nog iets betekent.

Let op. Er zitten voorwaarden aan. Het systeem moet gesloten zijn, eindig in energie en ruimte, en de tijd moet echt onbeperkt zijn. Het universum als geheel voldoet daar mogelijk niet aan – het dijt uit, en of het “gesloten” is weet niemand. De stelling is wiskundig hard, maar hem loslaten op de kosmos is een sprong die natuurkundigen met zorg maken.

Twee keer hetzelfde addertje

Wat me pakte is dat de apen en Poincare eigenlijk dezelfde grap vertellen, vanuit twee hoeken. De aap laat zien dat oneindige herhaling elke mogelijke uitkomst afdwingt. Poincare laat zien dat een systeem met genoeg tijd elke toestand opnieuw bezoekt. Het ene komt uit de kansrekening, het andere uit de mechanica, en toch landen ze op dezelfde plek.

En allebei hebben ze hetzelfde addertje: waar. Onvermijdelijk. En volstrekt buiten bereik van alles wat we ooit zullen meemaken. Oneindigheid is vrijgevig met beloftes en meedogenloos met de rekening.

Poincare zelf, trouwens, was niet iemand die zich daardoor liet afschrikken. Zijn werk aan dit soort systemen legde mee de basis voor wat we later chaostheorie zouden noemen. Het idee dat iets volledig deterministisch en toch volstrekt onvoorspelbaar kan zijn. Maar dat is een stuk voor een andere keer.